大纲:
<1>自然对数函数: y=lnx的导数<2>lnx的值阈
<3>积分1/u du , 积分tanu,cotu
<4>对数微分法
<5>log以a为底u的导数
<6>含有log以a为底x的积分。
知识点:
<1>d/dx (lnx) = d/dx ∫(1/t dt) = 1/x t 属于[1,x]
<2>如何求ln2的值，用以前学过的辛普森,梯形法
<3>∫1/u du = ln|u| + C
<4>∫ u^n du = 1/(n+1) * u^(n+1) 这个公式仅仅是n!=-1 时候成立
<5>如果4中的n=-1如何求 那么就会变成 ∫u^-1 du = ln|u|
1，数列
a = 1/2 时, N->正无穷 , S->2
float lens = length(@P);@P.y += ( pow(0.5,lens) - 1.0f) / (0.5-1);
<2>求lnx 的值，如何求ln2,ln3,ln4 ,利用simpson法则或者Trapezoidal(梯形法),再次粘贴python代码:
import math# Trapezoidal# S = 1/2(y0+ 2y1 + 2y2 + 2y3+...+ 2yn-1 + yn)def Trapezoidal(down,up,n,func): if up==down: return 0.0 h = float(up-down) / float(n) start = func(down) end = func(up) process = 0.0 for dt in xrange(0,n+1,1): if dt == 0 or dt == n: continue process += 2 * func(down + dt * h) sum = (start + end + process) * (h/2.0) return sum# Simpson# S = h/3(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + ... + 2yn-1 + yn)# func is f(x)def Simpson(down,up,n,func): if up==down: return 0.0 h = float(up-down) / float(n) start = func(down) end = func(up) process = 0.0 for dt in xrange(0,n+1,1): if dt == 0 or dt == n: continue # select the 1 3 5 7 9... index if dt%2 == 1: process += 4 * func(down + dt * h) # select the 2 4 6 8 10... index if dt%2 == 0: process += 2 * func(down + dt * h) sum = (start + end + process) * (h/3.0) return sum
求ln2
lnx = lambda x: 1/xprint Simpson(1,2,100,lnx);
<3>一阶可分离变量微分方程
解微分方程y' = y
y = C * e^x
<4>欧拉法:
y' = 1 + x ； y(0) = 1 ; 带初值条件。并不需要知道 y = ?
类似这样的公式，一般方法求到 公式 y = ? 原型，然后就可以计算y(n) = ?
在欧拉法里就不需用，感觉跟牛顿迭代法是一个货色，都用的线性化公式。
下面是一个改进的欧拉法:
python code:
import numpy as npdef Euler(func, X0, Y0, perspectiveX, dx = 0.1,debug=True): if perspectiveX == X0: return Y0 # improve Euler method # Xn = Xn-1 + dx # Zn = Yn-1 + f(Xn-1, Yn-1) * dx # Yn = Yn-1 + [ f(Xn-1, Yn-1) + f(Xn,Zn) / 2 ] * dx Xn = X0 Zn = Y0 Yn = Y0 for it in np.arange(X0, perspectiveX, dx): if debug: print "-----------loop------------------" , it Xn = Xn + dx # 1:X0 + dx , 2:X0 + dx + dx ... if debug: print "Xn" , Xn Zn = Yn + func(Yn) * dx Yn = Yn + ( (func(Yn) + func(Zn)) / 2.00) * dx if debug: print "Yn", Yn return Ynprint "Result :" , Euler(lambda y: 1+y , 0.0, 1.0 , 1, )
<5>来源:Proof witout words! by fouad Nakhil
pi^e < e ^pi
有方程 : y = lnx/x (画图得下面公式)
lne/e > lnpi / pi
移项 得pi^e < e ^pi
<6> Nopier 不等式:
<7>动脉与小血管分叉度对血液摩擦力 造成的动能损失问题。
积分技术:
1,替换法
2,展开幂指数 例如(secx + tanx)^2 dx 这样的一定要展开
3,消除平方根
4，化简假分式,就是分子的次数高于或者等于分母的次数
5,分步积分
6,分步积分扩展:列表积分法:
级数:Cauchy浓缩判别法:
证明：
